本节书摘来异步社区《量化金融R语言高级教程》一书中的第2章，第2.1节，作者： 【匈牙利】Edina Berlinger（艾迪娜•伯林格） , 等 译者： 高蓉 责编： 胡俊英，更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

2.1　套利定价理论APT基于这样的假设，市场中的资产收益率取决于宏观经济因素和公司特定因素。并且，资产收益率通过以下线性因素模型生成：

这里，是资产i的预期收益率，表示第j个因素的非预期变动，而表示第i个证券对该因素的敏感性，同时表示非预期的公司特定事件引起的收益。因此，表示随机系统影响，

表示非系统（即个体的）影响，非系统影响表示总影响中无法被系统因素捕捉的那部分。作为非预期的量，和都具有无条件的零均值。在这个模型中，包括系统特定风险在内的因素之间相互独立。因此，资产收益率分别来源于两部分：系统性风险因素影响了市场中的所有资产，非系统性风险仅仅影响特定公司。非系统性风险可以通过增加组合中资产种类来分散化。相反，来自经济整体的风险可以影响整个股票市场，系统性风险无法分散化（Brealey-Myers，2007）。

这个模型有这样一个推论，资产的已实现收益率是多个随机因素的线性组合（Wilmott，2007）。

APT的其他重要假设如下。

市场中存在有限多个投资者，每个投资者为了下一期而做最优化组合选择。他们拥有相同的信息，并且都没有市场影响力。

市场中存在一个无风险资产和无穷多个连续交易的风险资产。因此，公司特定风险可以通过分散化完全消除。一个公司特定风险为零的组合称为完全分散化的组合。投资者是理性的，这意味着市场中如果出现套利机会（金融资产相互之间发生错误定价），那么投资者会迅速买入低估证券卖出高估证券，并为了尽可能多获取无风险收益而持有无穷大的头寸。因此，任何错误定价会瞬间消失。因素组合存在，并可连续交易。一个因素组合是一个完全分散化的组合，仅仅反映了某个因素。特别地，对这个特定因素的beta为1，而对所有其他因素的beta为0。从以上假设出发，可以推出任何组合的风险溢价等于因素组合的风险溢价加权和（Medvegyev-Szaz，2010）。下文的定价公式可以导出为两因素模型：

这里， 表示第i个资产的收益率，表示无风险收益率，表示第i个股票的风险溢价对第一个系统因素的敏感性，并且表示这个因素的风险溢价。同样，表示第i个股票的风险溢价对第二个因素的超额收益的敏感性。

当我们需要实施APT时，使用如下形式的线性回归方程式：

这里，表示一个常数，而i表示资产的非系统性的、公司特定的风险。所有其他变量含义如前所述。

如果模型中仅仅有一个因素，并且这个因素就是市场组合收益率，那么，CAPM模型和APT模型的定价方程式相同：

这种情形下，用真实市场数据检验的方程如下：

这里， 表示通过一个市场指数（如S&P500，即标准普尔500指数）代表的市场组合收益率。因此我们称方程5为指数模型。

2.1.1　实现APT

APT的实现分4步进行：识别因素，估计因素系数，估计因素溢价，采用APT进行定价（Bodie et al.2008）。

（1）识别因素：因为APT本身不包含关于因素的任何内容，所以因素需要通过实证分析来识别。这些因素通常考虑宏观经济因素，如股票市场收益率、通货膨胀率、商业周期等。使用宏观经济因素的一大问题是各个因素相互不独立。因此常常需要使用因子分析来识别因素。但是，通过因子分析识别出的因素在经济学上不容易有好的解释。

（2）估计因素系数：为了估计多变量线性回归模型的系数，我们使用方程3的一个一般形式。

（3）估计因素溢价：因素溢价基于历史数据来估计，对因素组合溢价的历史时间序列数据取均值。

（4）给出APT定价方程：通过代入适合的变量，用方程2来计算任何资产的预期收益率。

2.1.2　Fama-French三因素模型

Fama和French在1996年提出一个多因素模型。他们使用公司指标因素替代宏观因素，因为他们发现这些因素能够更好地描述资产的系统风险。Fama和French(1996)向市场组合收益率中增加了公司规模和净值市值比作为收益率生成因素，扩展了指数模型。

公司规模因素定义为小公司与大公司的收益率之差。变量名是SMB，源于“small minus big”的首字母缩写。净值市值比因素定义为高净值市值比减去低净值市值比的公司收益率之差。变量名是HML，源于“high minus low”的首字母缩写。

模型如下：